Trong chương trình toán học dành cho các em lớp 6 và 8, thì chuyên để về số chính phương đặc biệt quan trọng. Để hiểu số chính phương là gì, cũng như những đặc điểm cơ bản và ví dụ cụ thể của loại số này, mời bạn đọc tham khảo ngay bài viết sau đây!
Contents
Khái niệm, tính chất của số chính phương là gì?
Định nghĩa số chính phương là gì?
Số bằng bình phương đúng của một số nguyên được hiểu là số chính phương. Hiểu một cách đơn giản, số chính phương là số tự nhiên có căn bậc hai cũng đều là một số tự nhiên.
Về bản chất của số chính phương là bình phương của một số tự nhiên nào đó. Số chính phương là diện tích của một hình vuông, với cạnh là số nguyên kia, với số nguyên bao gồm các số nguyên dương, nguyên âm và số 0.
Số chính phương là chẵn khi chúng là bình phương của một số chẵn. Còn một số chính phương được gọi là số chính phương lẻ nếu nó là bình phương của một số lẻ.
Tính chất của số chính phương là gì?
Số chính phương sở hữu những tính chất cơ bản sau đây:
- Số chính phương chỉ có những chữ số tận cùng là 0, 1, 4, 5, 6, 9. Nếu như các số tận cùng rơi vào là 2, 3, 7, 8 thì đó không phải là số chính phương.
- Khi chúng ta phân tích ra thừa số nguyên tố, số chính phương chỉ chứa những thừa số nguyên tố với số mũ chẵn.
- Số chính phương có thể có 1 trong 2 dạng như sau: 4n hoặc 4n + 1, không có số chính phương nào có dạng: 4n + 2 hoặc 4n + 3 (với n € N).
- Số chính phương chỉ có thể có 1 trong 2 dạng: 3 n hoặc 3n + 1, không một trường hợp nào có số chính phương dạng 3n + 2 (với n € N).
- Nếu như số chính phương có chữ số tận cùng là 1 hoặc 9, thì chữ số hàng chục là chữ số chẵn.
- Nếu như số chính phương tận cùng bằng 5, thì chữ số hàng chục là 2.
- Nếu như số chính phương tận cùng bằng 4, thì chữ số hàng chục là chữ số chẵn.
- Trường hợp số chính phương tận cùng bằng 6, thì chữ số hàng chục là chữ số lẻ.
- Số chính phương chia hết cho 2 sẽ chia hết cho 4.
- Số chính phương chia hết cho 3 cũng sẽ chia hết cho 9.
- Số chính phương chia hết cho 5, cũng chia hết cho 25.
- Số chính phương chia hết cho 8, cũng chia hết cho 16.
- Số chính phương chia cho 3 không bao giờ có số dư là 2; còn nếu chia cho 4 sẽ không bao giờ dư 2 hoặc 3. Những số chính phương lẻ khi chia 8 luôn dư lại 1.
Một số Ví dụ cụ thể:
9(3)2; 36 (6)2; là số chính phương.
Đặc điểm của số chính phương là gì?
- Công thức để tính hiệu của hai số chính phương như sau: a2 – b2 = (a+b)(a-b).
- Số chính phương chia hết cho một số nguyên tố, cũng sẽ chia hết cho bình phương của số nguyên tố đó (như tính chất ở trên)
Ví dụ: Số chính phương 18 chia hết cho 3, cũng sẽ chia hết cho bình phương của 3 là 9.
Ví dụ:
62 – 32 = (6+3)(6-3) = 9.3 = 27.
Số ước nguyên dương của một số chính phương chính là một số lẻ.
Số chính phương chia hết cho số nguyên tố p, sẽ chia hết cho p2.
Các dạng số chính phương
Có 2 dạng số chính phương như sau:
Số chính phương chẵn
Số chính phương là số chẵn khi và chỉ khi là bình phương của một số nguyên chẵn.
Ví dụ cụ thể: Số 36 là một số chính phương chẵn, bởi vì nó là bình phương của số 6 (số chẵn)
Số chính phương lẻ
Số chính phương lẻ khi và chỉ khi chúng là bình phương của một số nguyên lẻ
Ví dụ: Số 25 là một số chính phương chẵn, bởi vì nó là bình phương của số 5 (số lẻ).
Dạng bài tập về số chính phương
Dạng 1: Dạng nhận biết
Nếu muốn giải quyết những bài tập trong dạng này, yêu cầu người học cần phải nắm vững định nghĩa số chính phương là gì, cũng như các tính chất đặc trưng của số chính phương.
Ví dụ:
Bài tập 1: Trong dãy số sau, số chính phương là những số nào: 9, 81, 790, 400, 121, 380, 2500, 441, 560.
Giải:
Trong dãy số trên, những số sau đây số chính phương: 9, 81, 400, 121, 2500, 441. Bởi vì:
9 = 3²
81 = 9²
121 = 11²
2500 = 25²
400 = 20²
441 = 21².
Bài tập 2: Trả lời những câu hỏi sau đây:
- Số nào là số chính phương nhỏ nhất có 3 chữ số?
- Số có 3 chữ số là số chính phương lớn nhất là số nào?
- Tập hợp các chữ số tận cùng có thể có của một số chính phương bao gồm những số nào?
- Số 1 có được xem là số chính phương không?
Lời giải:
Dựa vào tính chất đặc trưng của số chính phương, ta có:
- Số chính phương nhỏ nhất có 3 chữ số là: 100 (= 102).
- Số chính phương lớn nhất cho 3 chữ số là: 961 (= 312)
- Một số là số chính phương có kết thúc là những số 9, 6, 5, 4, 1, 0.
- Dựa theo tính chất của số chính phương, ta có 1 là số chính phương.
Dạng 2: Chứng minh số là chính phương
Để làm được những dạng bài tập này, bên cạnh việc nắm vững kiến thức về số chính phương, bạn cần có tư duy logic khi làm.
Ví dụ:
Chứng minh: Với mọi số tự nhiên n thì an = n(n+1)(n+2)(n+3) + 1 là số chính phương.
Lời giải:
Ta có:
an = n(n+1)(n+2)(n+3) + 1
= (n2 + 3n)(n2 + 3n + 2) +1
= (n2 + 3n)2+ 2(n2 + 3n) + 1
= (n2 + 3n + 1)2
Với n là số tự nhiên, thì (n2 + 3n + 1)2 cũng là số tự nhiên, cho nên an là số chính phương.
Dạng 3: Tìm giá trị biến, sao cho biểu thức đó là một số chính phương
Dạng bài tập này được đánh giá là vô cùng phức tạp, do đó đòi hỏi người học cần vận dụng được hết kỹ năng toán học như: kiến thức cơ bản của số chính phương, khả năng tư duy logic thì mới có thể giải quyết được.
Dạng 4: Bài tập về tìm số chính phương
Ví dụ cụ thể:
A là số chính phương bao gồm 4 chữ số. Khi thêm vào mỗi chữ số của A một đơn vị, ta được một số chính phương B.
Yêu cầu: Hãy tìm A và B.
Dạng bài 5: Chứng minh một số không phải là số chính phương
Ví dụ cụ thể: Hãy chứng minh các số sau đây 1234567890 không phải là một số chính phương.
Trả lời:
Nhận thấy những số 1234567890 có tận cùng là số 0 nên chia hết cho 5, nhưng chúng lại không chia hết cho 25. Dựa theo đặc điểm tính chất của số chính phương thì, dãy số 1234567890 không phải là số chính phương.
Như vậy chúng ta đã trả lời được cho câu hỏi số chính phương là gì, hy vọng những thông tin này của kiến thức máy móc thật sự hữu ích với người dùng. Đừng quên nhấn theo dõi kiến thức máy móc của chúng tôi để liên tục cập nhật những thông tin hữu ích nhất cho mình.
